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ACTIVIDAD Nº 14 :
Caída libre y sucesivos rebotes

 

 

 

 

Descripción

Rebote en el suelo

Balon7.gif (2174 bytes)

Cuando una pelota rebota sobre un tablero rígido, la componente de la velocidad perpendicular al tablero disminuye su valor, quedando la componente paralela inalterada

vx = ux
vy = -e·uy

 

Alturas de los sucesivos rebotes

Supongamos que una pelota se deja caer desde una altura inicial h. Vamos a calcular las alturas de los sucesivos rebotes.

1.-Primer rebote

La velocidad de la pelota antes del rebote se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

La velocidad de la pelota después del rebote es (en módulo) v1 = e·u1

La pelota asciende con una velocidad inicial v1, y alcanza una altura máxima h1 que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

2.-Segundo rebote

La velocidad de la pelota antes del rebote se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

La velocidad de la pelota después del rebote es v2 = e·u2

La pelota asciende con una velocidad inicial v2, y alcanza una altura máxima h2 que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía

3.-Rebote n

Después del rebote n, la altura máxima que alcanza la pelota es

hn = e2n·h

 

Pérdida de energía que experimenta la pelota

  1. En el primer robote, la pelota pierde una energía

  1. En el segundo rebote, la pelota pierde una energía

  1. En el rebote n la pelota pierde una energía

La suma de ΔE1+ ΔE2+ ΔE3+…. ΔEn es la energía perdida por la pelota después de n rebotes. Después de infinitos rebotes la pelota habrá perdido toda su energía inicial mgh. Vamos a comprobarlo sumando los infinitos términos de una progresión geométrica de razón e2 y cuyo primer término es ΔE1

Tiempo que tarda la pelota en pararse.

  1. El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo cuando se deja caer desde una altura h partiendo del reposo es

  1. La pelota rebota y sube hasta una altura h1, a continuación cae de nuevo al suelo. El tiempo que tarda en subir y bajar es

  1. La pelota rebota y sube hasta una altura h2, y a continuación cae de nuevo al suelo. El tiempo que tarda en subir y bajar es

El tiempo total tras infinitos rebotes es la suma de t0 y los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 2t0e y cuya razón es e.

Si a la pelota se le proporciona una velocidad inicial horizontal vx. Después de infinitos rebotes se desplaza una distancia horizontal x = vx·t

 

Actividades

Se introduce

  • El coeficiente de restitución e, en el control de edición titulado Coeficiente de restitución.
  • La altura inicial está fijada en el programa interactivo en h=3 m

Se pula el botón titulado Empieza

Ejemplo:

Introducimos e = 0.90 como coeficiente de restitución

  1. Determinar la altura de la pelota después del tercer rebote

h3 = e2·3h        h3 = 1.59 m

  1. El tiempo que tarda en alcanzar dicha altura

t = t0+t1+t2+t3/2 = t0+2t0e+2t0 e2+t0 e3 = t0 (1+2e+2e2+e3) = 4.03 s.

Donde t0=0.78 s es el tiempo que tarda en llegar al suelo cuando se deja caer desde la altura inicial de 3 m.

  1. La energía de la partícula después del tercer rebote

La energía perdida ΔE en el primer, segundo y tercer rebote es

ΔE = (e2-1) mgh + e2(e2-1) mgh + e4(e2-1) mgh = mgh (e2-1) (1+e2+e4) = -13.78·m J

La energía final Ef = mgh + ΔE = 15.62·m J

En la parte izquierda del applet, se muestra mediante un diagrama de barras, la energía de la pelota. La energía se conserva entre dos rebotes consecutivos trasformándose la energía cinética (en color azul) en potencial (en color rojo) cuando la pelota sube y en sentido contrario cuando la pelota baja. La energía de la pelota está marcada por líneas de color negro. De esta manera, podemos comparar la energía que se pierde en los sucesivos rebotes.

 

 

RestitucionApplet1aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

 

 

Progresión geométrica

Una progresión geométrica se define como aquella en la que el término n es el producto del término n-1 por un número r denominado razón de la progresión.

a0 = a
a1 = a·r
a2 = a·r2
a3 = a·r3
………..
an = a·rn

Suma de n términos de una progresión geométrica

Sn = a0 + a0·r + a0·r2 +…+ a0·rn


Sn+1 = a0 + a0·r + a0·r2 +… + a0·rn  + a0·rn+1

Multiplicamos la primera igualdad por r y restamos miembro a miembro la segunda menos la primera

Sn+1 - r·Sn  = a0

Teniendo en cuenta que  Sn+1 = Sn + a0·rn+1, despejamos la suma Sn de n términos de la progresión geométrica

Si r es menor que la unidad, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica se reduce a