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ACTIVIDAD Nº 16

Choque inelástico entre un bloque que cae y una plataforma que descansa sobre un muelle elástico.

 

 

 

 Un bloque de masa m, está situado a una altura h sobre el origen O, cae sobre una plataforma de masa M cuyo soporte es un muelle de constante k. El choque es inelástico, el bloque queda pegado a la plataforma. Determinar el movimiento del sistema formado por el bloque, la plataforma y el muelle.

 

Fundamentos físicos

  1. Posición de equilibrio de la plataforma M sobre el muelle de constante k.

muelle5.gif (2581 bytes)

La posición de equilibrio ye es aquella en la que el peso del la plataforma se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle

k·ye = Mg

  1. El bloque de masa m cae desde una altura h + ye antes de chocar con la mesa.

muelle6.gif (2975 bytes)

 La velocidad antes del choque es

  1. Conservación del momento lineal

En el instante del choque, supondremos que el bloque y la mesa forman un sistema aislado. Aplicando el principio de conservación del momento lineal

mv0 = (m+M)v1.

  1. Posición de equilibrio del sistema formado por el muelle, la mesa y el bloque.

muelle7.gif (2308 bytes)

La posición de equilibrio x0 es aquella en la que el peso del la mesa y el bloque se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle

k·x0 = (M+m)g

  1. Sistema oscilante.

El periodo P del  Movimiento Armónico Simple es

La frecuencia angular es w =2p /P

La ecuación del MAS es

x = -x0 + A·sen (w t+j )

La velocidad del sistema bloque-mesa se obtiene derivando la x respecto del tiempo

v = Aw ·cos (w t+j )

La amplitud A y la fase inicial j , se determina a partir de las condiciones iniciales.

muelle8.gif (2898 bytes)

 

Como podemos ver en la figura, el sistema parte en el instante t = 0 de la posición -ye con velocidad v0 que tiene el sistema bloque- plataforma después del choque.

Tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

-ye = -x0 + A·senj
v0 = Aw ·cosj

A partir de las cuales, obtenemos la amplitud A y la fase inicial j .

 

Ejemplo

Sea un sistema formado por

  • Un bloque de masa m = 10 kg
  • Una mesa de masa M = 20 kg
  • Y un muelle de constante elástica k = 2000 N/m

El bloque se deja caer desde una altura de 1 m sobre el nivel del muelle sin deformar, que tomamos como origen.

  1. Posición de equilibrio de la mesa M sobre el muelle de constante k.

20·9.8 = 2000·ye por lo que ye = 9.8 cm

  1. La velocidad antes del choque del bloque

El bloque cae desde una altura de 1.098 m, su velocidad es

v1 = 4.64 m/s

  1. Choque del bloque contra la plataforma

10·4.64 = (10+20)·v0 por lo que v0 = 1.546 m/s ó 154.6 cm/s

  1. Posición de equilibrio del sistema formado por el bloque, la mesa y el muelle

(20+10)·9.8 = 2000·x0, por lo que x0 = 14.7 cm

  1. Movimiento Armónico Simple

Periodo de la oscilación

La frecuencia angular w  = 8.16 rad/s

Ecuación del MAS

x = -14.7+A·sen(w t+j ) cm
v = A
w ·cos(w t+j ) cm/s

Condiciones iniciales, en el instante t = 0

-9.8 = -14.7+A·senj
-154.6 = Aw · cosj

j = 165.5º = 2.89 rad
A = 19.56 cm

La ecuación del MAS es

x =-14.7+19.56·sen(8.16t+2.89) cm

El bloque y la plataforma oscilan entre las posiciones –14.56-19.56 =-34.26 cm por debajo del origen y –14.7+19.56=4.86 cm por encima del origen.

 

Balance energético

  1. Antes del choque
  • El bloque de masa m está en reposo a una altura h = 1 m

Ep = mgh

  • La plataforma ha descendido ye

Ep = -Mg·ye

  • El muelle está comprimido ye

  1. En el momento del choque

La energía potencial del bloque de masa m se ha transformado en energía cinética

  1. El choque es inelástico, una parte de la energía se pierde

donde v0 es la velocidad del conjunto bloque-plataforma después del choque.

  1. Después del choque la energía del sistema es
  • Energía potencial del conjunto bloque–plataforma se encuentran a ye por debajo del origen

Ep = -(M+m)g·ye

  • Energía cinética

  • Energía potencial elástica del muelle

En el ejemplo estudiado anteriormente

m = 10 kg, M=20 kg, k=2000 N/m. La velocidad después del choque v0=1.546 m/s

y la posición en la que ocurre el choque era ye = 0.098 m. La energía total

las posiciones x para las cuales  v = 0, se obtienen de la ecuación

Esta ecuación de segundo grado nos da dos posiciones x = 0.3425 m y x = -0.048.

La posición más baja está 34.25 cm por debajo del origen, y la más alta 4.8 cm por encima del origen. Valores que obtuvimos en el apartado anterior.

  1. La suma de estas tres clases de energías se va a mantener constante, mientras el sistema está oscilando, ya que el conjunto bloque-plataforma- muelle esta bajo la acción de dos fuerzas conservativas, el peso y la fuerza que ejerce el muelle deformado.

 

Actividades

Introducir los siguientes datos en los respectivo controles de edición:

  • La masa de la plataforma en kg, en el control de edición titulado Masa plataforma
  • La masa del bloque en kg, en el control de edición titulado Masa del bloque
  • La constante elástica del muelle que soporta a la plataforma en N/m, en el control de edición titulado Constante elástica.

Se pulsa el botón titulado Inicio, el programa verifica los datos introducidos y si son correctos se pulsa a continuación el botón titulado Empieza.

Cada vez que se realice un nueva "experiencia", se cambian los datos y se pulsa el botón titulado Inicio.

Se sugiere emplear los botones titulados Paso y Pausa para detener el programa en cualquier momento y para ejecutar el programa paso a paso. Primero, observaremos la caída del bloque, su choque contra la plataforma y finalmente, el movimiento oscilatorio del conjunto bloque-plataforma y muelle.

A la derecha del applet, se representa la posición en función del tiempo del bloque y la plataforma cuando empiezan a oscilar, podemos medir, la amplitud, el periodo y apreciar la fase inicial.

En la parte superior del applet, se representa la energía del sistema, el nivel cero de energía potencia se ha situado en la base del muelle elástico, 50 cm por debajo del origen. De este modo, las energías potenciales son siempre positivas, y se puede apreciar visualmente las transformaciones entre los distintos tipos de energía, así como la pérdida de energía en el momento del choque.

  • La energía del bloque y de la plataforma se representa en forma de una barra de dos colores, la parte roja representa la energía potencial y la parte azul la energía cinética. La longitud de la barra representa la energía total de la partícula.
  • La barra de color verde representa la energía potencial elástica del muelle.

 

 

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