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ACTIVIDAD Nº 8 : Péndulo Compuesto

 

Fundamentos físicos

El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ángulo q  de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

solido6.gif (1521 bytes)

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

IO·a = -mgbsenq

Donde b es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O.

IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes. La ecuación diferencial se escribe entonces

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular

Por el teorema de Steiner

IO = IC+mb2

El periodo se escribe

Cuando se representa P en función de b. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para b=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de b que se puede calcular derivando P respecto de b e igualando a cero.

Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de b que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo.

Para obtener estos valores, escribimos IC = mR2 con objeto de simplificar la masa m en la fórmula del periodo y a continuación, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo

La ecuación de segundo grado en b, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura mediante dos rectas verticales (y dos flechas de color azul), que señalan las abscisas b1 y b2 de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de b).

 

pendulo.gif (2697 bytes)

De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado

Midiendo en la gráfica b1 y b2 para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el momento de inercia del péndulo compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el péndulo y calculando R2 mediante el producto de b1 por b2.

IC = mR2

 

Actividades

Medir el periodo de cinco oscilaciones para cada una de las posiciones del centro de oscilación.

El péndulo compuesto es una varilla en la que se han hecho agujeros equidistantes 10 cm. El péndulo aparece oscilando en el primer agujero. Se mide el periodo de cinco oscilaciones poniendo en marcha el cronómetro, pulsando el botón titulado En marcha. Cuando se hayan completado las cinco oscilaciones se pulsa el mismo botón que ahora se titula Parar.

La medida del tiempo se guarda en el área de texto situada en la parte izquierda del applet.

Se pulsa el botón titulado Siguiente, para realizar la medida del periodo de cinco oscilaciones con el segundo agujero y así sucesivamente, hasta completar todas las medidas.

Se pulsa el botón titulado Gráfica. Aparece representada la curva P en función de b, y varios puntos en color rojo que son los datos "experimentales". La representación de las medidas efectuadas se situará sobre la curva si están realizadas con cuidado.

Situamos el puntero del ratón sobre la flecha roja situada a la derecha del applet. Se pulsa el botón izquierdo y se mantiene pulsado para mover la recta horizontal. Situamos la recta horizontal en aquél intervalo en el que interseca dos veces a la curva, obteniéndose dos valores de b, que se miden en el eje de las abscisas.

A partir de b1 y b2 para un valor dado de P, se pide hallar el valor de la aceleración de la gravedad, mediante la fórmula

 

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

 

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