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ACTIVIDAD Nº 23 : El mejor ángulo para arrastrar un bloque

 

 

 

Si aplicamos una fuerza T que hace un ángulo θ con la horizontal, cuál debe ser el valor de dicha fuerza para que el bloque empiece a moverse? Más aún, determínese el valor del ángulo θ para el cual la fuerza aplicada es mínima.

Vamos a ver en este ejemplo, que el valor de la reacción del plano N depende de las otras fuerzas que se aplican sobre el bloque.

 

Descripción

En el análisis de este problema solamente estamos interesados en la situación de equilibrio, mientras el bloque está en reposo sobre el plano horizontal, pero no estamos directamente interesados en el movimiento del bloque una vez que ha empezado a deslizar, no obstante, escribiremos las ecuaciones del movimiento.

  • El bloque en reposo

Primero analizamos la situación de equilibrio, del bloque en reposo sobre el plano horizontal. Las fuerzas que actúan sobre el bloque son:

  • El peso m.g
  • La fuerza aplicada T que forma un ángulo θ con la horizontal.
  • La fuerza que ejerce el plano N sobre el bloque.
  • La fuerza de rozamiento Fr.

Las condiciones de equilibrio se escriben:

T cosθ - Fr = 0


T
senθ + N – mg = 0

Dado el valor de la fuerza aplicada T, podemos calcular la fuerza de rozamiento Fr y la fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque.

Cuando el bloque empieza a deslizar la fuerza de rozamiento alcanza un valor máximo dado por Fr = μe.N, siendo μe el coeficiente de rozamiento estático.

 

En esta situación, despejamos T del sistema de ecuaciones.

T es una función del ángulo θ.

 

Esta función tiene un mínimo, el mejor ángulo para arrastrar el bloque, que se obtiene derivando T respecto de θ, e igualando a cero.

o bien,  

tan θ = μe

  • El bloque en movimiento

Una vez que el bloque empieza a moverse, la fuerza de rozamiento disminuye, ya que el coeficiente de rozamiento dinámico μk es, de ordinario, menor que el estático μe. En la simulación hemos tomado arbitrariamente la siguiente relación μk = 0.9 μe.

Tenemos que aplicar las ecuaciones de la dinámica al bloque y a las pesas que cuelgan de la polea.

  • Movimiento del bloque

El bloque está en equilibrio en la dirección vertical

T senθ + N – mg = 0

El bloque se mueve con aceleración a a lo largo del plano

T cosθ -Fr = ma  con Fr = μk·N

  • Movimiento de las pesas

 

Las pesas situadas en un platillo se mueven con aceleración a, ya que el platillo está unido al bloque mediante una cuerda inextensible que pasa por la polea.

M.g –T = M.a

 Se despeja la aceleración a de las ecuaciones del movimiento del sistema formado por el bloque y las pesas.

La aceleración a ya no es constante, depende del ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal, y este ángulo depende a su vez de la posición del bloque x.

Para determinar la posición x del bloque en función del tiempo t, hemos de resolver una ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales en el instante  t = 0, x = x0, v = 0.

 

Actividades

Se introduce 

  • El coeficiente de rozamiento μe, en el control de edición titulado Coeficiente de rozamiento
  • La masa m del bloque que está sobre el plano horizontal se ha fijado en 1 kg.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior izquierda del applet, se muestra la representación gráfica de la fuerza aplicada T sobre el bloque para cada ángulo θ que forma la cuerda con la horizontal en el momento en el que el bloque empieza a deslizar.

Se señala también, el ángulo que corresponde al mínimo de la fuerza aplicada sobre el bloque

θmín= arctane)

Se cambia

  • El ángulo θ del plano inclinado, en el control de edición titulado ángulo y se pulsa Enter o Retorno, o se actúa sobre la barra de desplazamiento.

Aplicamos la fuerza T colocando pesas sobre el platillo que cuelga del extremo de la cuerda que pasa por la polea, para ello, se selecciona el tipo de pesa y se arrastra con el puntero del ratón hasta el platillo que cuelga de la polea.

Se ha tomado la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2 para hacer más cómoda la trasformación entre peso en kilogramos y fuerza en newton (N).

Para determinar el valor de T que hace que el bloque empiece a deslizar hay que utilizar el procedimiento de prueba y error. 

Ejemplo:

  1. Introducimos el valor del coeficiente de rozamiento estático μe = 0.75, en el control de edición titulado Coeficiente de rozamiento

Seleccionamos actuando en la barra de desplazamiento el ángulo θ = 30º.

  1. Colocamos 7 pesas de 100 g, observamos que el bloque comienza a deslizar, la tensión T debe ser menor que 7·0.1·10 = 7 N

 Pulsamos el botón titulado Repetir.

  1. Colocamos 6 pesas de 100, y una pesa de 25 g, observamos que el bloque comienza a deslizar.

Pulsamos el botón titulado Repetir.

  1. Colocamos 6 pesas de 100, y una pesa de 5 g, observamos que el bloque comienza a deslizar.

La fuerza T  buscada está comprendida entre 6.00 y 6.05 N.

Pulsamos el botón titulado Gráfica, y vemos que el punto de color rojo que señala la medida efectuada se sitúa sobre la gráfica de la fuerza aplicada en función de del ángulo que hace la cuerda con la horizontal. Nuestra medida ha sido efectuada correctamente.

Para confirmarlo, calculamos su valor exacto de T para el ángulo θ =30º mediante la fórmula

 

 

En la parte superior derecha del applet, observamos las fuerzas sobre el bloque. Fijarse cómo la fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque no es constante e igual al peso del bloque mg sino que va cambiando a medida que se modifica la fuerza aplicada T o el ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal.

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.