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ACTIVIDAD Nº 29 : Equilibrio entre el movimiento de traslación y rotación (II)

 

 

 

Se introduce

  • La posición inicial x de la rueda en el plano inclinado, en el control de edición titulado Posición
  • El cociente entre radios r/R, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Cociente radios. El radio R de la esfera está fijado en el programa y vale 10 cm
  • El coeficiente μe= μk de la fuerza de rozamiento por deslizamiento, en el control de edición titulado Coef. rozamiento.

Se pulsa el botón titulado Empieza

En el caso de que no se cumpla la condición:

con θ = 30º., el programa no prosigue y un mensaje nos invita a incrementar el coeficiente de rozamiento μe, a fin de que la esfera baje rodando sin deslizar a lo largo del plano inclinado.

Si se cumple la citada condición, se observa el movimiento de la esfera a lo largo del plano inclinado y luego, sobre el plano horizontal.

Cuando la esfera desliza sobre el plano horizontal, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con dicho plano no vale cero, vP < 0 y va disminuyendo hasta que se cumple la condición de rodar sin deslizar vP = 0. Un vector de color rojo muestra el valor de dicha velocidad vP.

En la parte derecha del applet, se muestran las transformaciones energéticas. Cuando la esfera rueda sin deslizar a lo largo del plano inclinado la energía potencial se trasforma en energía cinética de traslación del centro de masas y de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas. La fuerza de rozamiento no realiza un trabajo neto.

Cuando se pone en contacto con el plano horizontal, no se cumple en general que v =w ·R, por lo que la fuerza de rozamiento tratará de restablecer el equilibrio entre el movimiento de traslación y el de rotación. Durante un cierto tiempo t se pierde energía debido al trabajo de la fuerza de rozamiento. A partir de dicho instante, la velocidad final del c.m. se mantiene constante y la fuerza de rozamiento no realiza un trabajo neto.

Ejemplo:

Introducimos los siguientes datos

·         Posición inicial x=100 cm=1.0 m

·         Cociente entre radios r/R=0.5.

·         Coeficiente de la fuerza de rozamiento μe=0.45

Como R=10 cm=0.1 m, r=0.05 m. La anchura d del carril es:

Una sección del carril se muestra en la parte superior izquierda del applet

Comprobamos que la esfera baja rodando sin deslizar

Obtenemos mediante las ecuaciones de la dinámica o del balance energético la velocidad v0 del c.m. de la esfera al abandonar el plano inclinado.

v0=1.94 m/s

La velocidad angular de rotación de la esfera será es

La esfera comienza a rodar sobre el plano horizontal, pero no se cumple la condición v00·R. La velocidad del punto P de contacto de la esfera con el plano horizontal no es cero, sino que vale

vP=v0-w0 ·R=-1.94 m/s

La fuerza de rozamiento tratará de restablecer el equilibrio, entre los movimientos de traslación y rotación hasta que vP=0. Por lo que incrementa la velocidad de traslación v y disminuye la velocidad angular de rotación ω.

Al cabo de un tiempo de

durante el cual la esfera se desplaza s=28 cm, se restablece el equilibrio y la esfera rueda sin deslizar con una velocidad constante de

Balance energético

La energía inicial de la esfera es:

Ei = mgx·sen θ = m·9.8·1.0·sen 30º = 4.9·m J

Esta energía se va trasformando en energía cinética de traslación y de rotación

Como v=ω·r.La energía cinética de rotación representa el

62% de la energía cinética total

Cuando rueda sin deslizar a lo largo del plano horizontal se cumple v =ω·R

La energía cinética de rotación representa los 2/7=29% de la energía cinética total

 

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Cromer A. An unusual rolling-sphere phenomenon. The Physics Teacher Vol 34, January 1996, pp. 48-50.